模幂运算的几种解决方法

　　【问题】
　　计算a**b%c的值。
　　其中，"**"代表幂(Python中就是这样表示的)；"%"代表取模运算。
　　【分析】
　　首先由模运算的性质，可以得到下面的公式：
　　(a*b) % c = (a%c) * b % c        【公式一】
　　将【公式一】继续展开，可得下面的公式：
　　(a*b) % c = (a%c) * b % c = (b%c) * (a%c) % c = (a%c) * (b%c) % c        【公式二】
　　下面是几种解决方法： 【方法1】利用公式一，使用递归方法计算。
　　#include  #include  // calculate a**b%c int fun(int a, int b, int c) { assert(a && (b>=0) && c); if (0==b) { return 1; } else { return fun(a, b-1, c)*a%c; } } int main() { int a, b, c; while (3==scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)) { printf("%d\n",fun(a,b,c));// calculate a**b%c } return 0; } 不难看出此方法的缺点是当b越大的时候需要递归的次数就越多，因此就可能会发生stack overflow的错误。所以，此方法非常简单但只适用于b比较小的情况。VS2008下测试，当递归到4624次时发生stack overflow。
　　【方法2】利用公式二，使用递归方法计算。
　　想办法在方法1的基础上减少递归次数，发现利用公式二可以做到。
　　(a*b) % c =  (a%c) * (b%c) % c        【公式二】
　　当b是奇数的时候，f(b) = f(b-1) * (a % c) % c = a * f(b-1) % c
　　当b是偶数的时候，f(b) = f(b/2) * f(b/2) % c #include  #include  #include  // calculate a**b%c int fun(int a, int b, int c) { assert(a && (b>=0) && c); if (0==b) { return 1; } else { return (1==(b&1)) ? a*fun(a, b-1, c)%c : fun(a, b/2, c)*fun(a, b/2, c)%c; } } int main() { int a, b, c; clock_t beg, end; while (3==scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)) { beg=clock(); printf("%d\n",fun(a,b,c));// calculate a**b%c end=clock(); printf("time used: %.2lf\n",double(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC); } return 0; } VS2008测试：a=3; b=2147483647;(取int型的最大值) c=1000时，需要约225s可计算出结果为787。
　　此方法减少了递归次数，在所能表示的类型里可以防止栈溢出的问题(下面可推证)，但是发现运算效率还是太慢，对代码进行检查可以发现问题出在下面这行代码中：
　　fun(a, b/2, c)*fun(a, b/2, c)%c; 
　　这种写法会导致递归调用函数的次数可能达到2*lb(b)，虽然递归深度要远小于方法1，但递归次数要远远大于方法1(可以设置一个局部静态变量显示)，所以效率很低。解决方法可以先用一个临时变量来保存函数调用的返回值，优化方法如下：
　　#include  #include  #include  // calculate a**b%c int fun(int a, int b, int c) { assert(a && (b>=0) && c); if (0==b) { return 1; } else { //return (1==(b&1)) ? a*fun(a, b-1, c)%c : fun(a, b/2, c)*fun(a, b/2, c)%c; if (b&1)// odd { return a*fun(a, b-1, c)%c; } else// even { int tmp=fun(a, b/2, c);// note here! return tmp*tmp%c; } } } int main() { int a, b, c; clock_t beg, end; while (3==scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)) { beg=clock(); printf("%d\n",fun(a,b,c));// calculate a**b%c end=clock(); printf("time used: %.2lf\n",double(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC); } return 0; }  用上述同样的数据测试，发现计算所用时间几乎为0.00s，效率得到很大提高。
　　思考：虽然这种方法减少了递归次数，但是当b特别大的时候是否还会出现stack overflow的情况。
　　测试：将b改为__int64或long long类型，看是否会发生stack overflow并计算时间。
　　可以粗略地分析出：在32位平台上用这种方法可以计算出b最大为2^4624时的结果而不会发生栈溢出。 #include  #include  #include  // calculate a**b%c int fun(int a, __int64 b, int c) { assert(a && (b>=0) && c); // 打印出递归次数 /*static int itime=0; printf("%d\n",itime++);*/ if (0==b) { return 1; } else { if (b&1)// odd { return a*fun(a, b-1, c)%c; } else// even { int tmp=fun(a, b/2, c);// note here! return tmp*tmp%c; } } } int main() { int a, c; __int64 b; clock_t beg,end; while (3==scanf("%d%I64d%d",&a,&b,&c)) { beg=clock(); printf("%d\n",fun(a,b,c));// calculate a**b%c end=clock(); printf("time used: %.2lf\n",double(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC); } return 0; }  测试：a=3; b=9223372036854775807; c=1000; 输出187，用时几乎为0.00s。
　　【方法3】利用公式一，使用递推方法(非递归)计算。 #include  #include  #include  // calculate a**b%c int fun(int a, int b, int c) { assert(a && (b>=0) && c); int res=1; while (b>0) { res*=a; res%=c; --b; } return res; } int main() { int a, b, c; clock_t beg,end; while (3==scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)) { beg=clock(); printf("%d\n",fun(a,b,c));// calculate a**b%c end=clock(); printf("time used: %.2lf\n",double(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC); } return 0; }  测试：a=3; b=2147483647;(取int型的最大值) c=1000时，用时约37.02s可计算出结果为787。
　　因为此方法需要循环b次，时间复杂度为O(b)，效率比较低，但是优点是不会发生stack overflow。
　　【方法4】利用公式二，使用递推方法(非递归)计算。 #include  #include  #include  // calculate a**b%c int fun(int a, int b, int c) { assert(a && (b>=0) && c); int res=1; while (b) { if (b&1)// odd { res=res*a%c; --b; } else// even { a=a*a%c; b>>=1; } } return res; } int main() { int a, b, c; clock_t beg, end; while (3==scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)) { beg=clock(); printf("%d\n",fun(a,b,c));// calculate a**b%c end=clock(); printf("time used: %.2lf\n",double(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC); } return 0; } 测试：a=3; b=2147483647;(取int型的最大值) c=1000时，用时约0.00s可计算出结果为787。此方法最好的时间复杂度为O(lb(b))，且不会发生stack overflow。
　　【方法5】与方法4等价的另一种形式。
　　不对b进行减1或除以2，而将b表示为二进制数，通过判断二进制位上是0还是1来计算。这种方法的时间复杂度最小，即O(nbit)，n是b的二进制表示的位数。比如：
　　b==8(dec.)==1000(bin.)，用方法4需要循环2+1+1+0=4次；用方法3也需要循环4次。
　　b==7(dec.)==0111(bin.)，用方法4需要循环2+2+1=5次；用方法3需要循环4次。
　　使用数组实现 ： #include  #include  #include  // calculate a**b%c int fun(int a, int b, int c) { assert(a && (b>=0) && c); int res=1, n=0;// n+1 is the length of b in binary int bit_b[32]={0}; while (b) { bit_b[n++]=(b%2); b>>=1; } for (int i=n-1; i>=0; --i) { res=res*res%c; if (bit_b[i]) { res=res*a%c; } } return res; } int main() { int a, b, c; clock_t beg, end; while (3==scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)) { beg=clock(); printf("%d\n",fun(a,b,c));// calculate a**b%c end=clock(); printf("time used: %.2lfs\n",(double)(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC); } return 0; } 使用bitset容器实现 ： #include  #include  #include  using std::bitset; // calculate a**b%c int fun(int a, int b, int c) { assert(a && (b>=0) && c); int res=1, n;// n+1 is the length of b in binary bitset bitvec_b(b); n=bitvec_b.size()-1; while (0==bitvec_b[n]) --n; for (int i=n; i>=0; --i) { res=res*res%c; if (bitvec_b[i]) { res=res*a%c; } } return res; } int main() { int a, b, c; while (3==scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)) { printf("%d\n",fun(a,b,c));// calculate a**b%c } return 0; }  参考 ：